lunes, 4 de junio de 2012

Noción Frecuencia y Probabilidad

Los juegos de azar son tan antiguos como la humanidad, antes de usar los dados, la ruleta, las monedas y la baraja se jugaba con las tabas.
     Algunos de los primeros dados fueron hechos de arcilla, cuero o hueso hace más de 4 000 años. Los griegos usaron los sólidos platónicos para hacer dados poliédricos y, seguramente, practicaron algunas actividades de azar ante Tique, su diosa de la suerte.
Experimentos aleatorios
Si se considera que un experimento determinista es aquel en el que se obtiene el mismo resultado cada vez que se lleva a cabo, entonces un juego de dados no es un experimento de este tipo, pues se ignora cuáles serán los números que saldrán.
      Esto significa que el juego de dados es un experimento aleatorio pues se pueden obtener diferentes resultados y no se sabe cuál será el de la siguiente vuelta.
    Sin embargo, sí es posible analizar y resolver problemas relacionados con experimentos aleatorios, determinando todos los resultados posibles.
      En un experimento aleatorio, los resultados posibles son aquellos que pueden suceder cada vez que se repite el experimento.
      Ejemplos:
     Lanzamiento de un dado:
     Los resultados posibles son:  1, 2, 3, 4, 5 y 6.
    
    Lanzamiento de una moneda:
    Los resultados posibles son a y s.

Lanzamiento de un dado y una moneda:
     Los resultados posibles son:
(1, a), (2, a), (3, a), (4, a), (5, a), (6, a)
(1, s), (2, s), (3, s), (4, s), (5, s), (6, s)
      En resumen:
     La probabilidad es el grado de certidumbre con que se mide la ocurrencia de cierto resultado.
     La probabilidad se mide con valores que van desde cero, para la imposibilidad de ocurrencia, hasta 1, cuando se tiene toda la seguridad de que se presentará cierto resultado.
    Cuando consideramos que en un evento todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrencia o no, hablamos de la probabilidad que se conoce como probabilidad clásica.


 PROBABILIDAD FRECUENCIAL

Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los datos y se calcula la siguiente expresión.

      Ejemplo:
      Después de jugar 30 partidas de dados, dos jugadores obtuvieron los siguientes resultados:


Partida 1    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10    11    12    13    14    15
Jugador 1    8    3    8    3    3    3    8    3    3    8    3    8    3    8    3
Jugador 2    2    6    2    6    2    6    6    2    2    6    2    6    6    6    2
Ganador    1    2    1    2    1    2    1    1    1    1    1    1    2    1    1
Partida 2    16    17    18    19    20    21    22    23    24    25    26    27    28    29    30
Jugador 1    8    3    3    3    8    3    3    3    3    8    3    3    3    3    8
Jugador 2    2    6    2    2    6    6    6    2    2    6    6    2    2    6    2
Ganador    1    2    1    1    1    2    2    1    1    1    2    1    1    2    1
       Los resultados que se observan en la tabla confirman que el juego de dados es un experimento aleatorio.
      Para concentrar la información, se puede utilizar una tabla como ésta:

     La tabla se completa aplicando la definición frecuencial de probabilidad, también llamada probabilidad frecuencial o probabilidad empírica.
    Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los resultados y se calcula con la expresión para obtener dicha probabilidad:
      Para el caso de la tabla, si P (A) = probabilidad frecuencial de que el jugador 1 gane el juego, entonces:
Número de veces que se obtiene el resultado que interesa = 21
Número de repeticiones del experimento = 30

     Siguiendo un proceso parecido se puede encontrar la probabilidad frecuencial P (B) de que el jugador 2 gane el juego:

     Así, es más probable que el jugador 1 gane, ya que:

     Entonces, el jugador 1 es el ganador.

Fórmula clásica de probabilidad En algunos experimentos aleatorios se pueden determinar todos los resultados posibles, de tal manera que tengan las mismas oportunidades de ocurrir. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, se considera que es simétrico y homogéneo, por lo que cada uno de los resultados posibles 1, 2, 3, 4, 5 y 6 tienen las mismas posibililidades de ocurrir. Entonces, cada uno de ellos tendrá la misma probabilidad.
      Si se desea la probabilidad de obtener menos de 3 puntos al lanzar el dado, primero se deben localizar de los resultados posibles aquellos en que se obtienen menos de 3 puntos.

      El evento A consta de los resultados posibles 1 y 2, por lo que:

     Los resultados posibles que favorecen que ocurra un evento A se llaman resultados favorables para A.

    Para obtener la probabilidad de un evento A en un experimento aleatorio se procede así:
1.    Determinar el total de resultados posibles.
2.    Establecer el número de resultados favorables al evento A.
3.    .Usar la fórmula clásica de probabilidad.




Probabilidad


La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

TEORÍA
Artículo principal: Teoría de la probabilidad
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica,esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.[cita requerida]
La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q:

Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.
REGLA DE LA ADICIÓN
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadisticamente independientes ocurran todas es igual al producto de sus probabilidades individuales.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.
INVESTIGACIÓN BIOMÉDICA
La mayoría de las investigaciones biomédicas utilizan muestras de probabilidad, es decir, aquellas que el investigador pueda especificar la probabilidad de cualquier elemento en la población que investiga. Las muestras de probabilidad permiten usar estadísticas inferenciales, aquellas que permiten hacer inferencias a partir de datos. Por otra parte, las muestras no probabilísticas solo permiten usarse estadísticas descriptivas, aquellas que solo permiten describir, organizar y resumir datos. Se utilizan cuatro tipos de muestras probabilísticas: muestras aleatorias simples, muestras aleatorias estratificadas, muestra por conglomerados y muestras sistemáticas.


 


    

Probabilidad Clasica

En muchos experimentos aleatorios es posible determinar todos sus resultados posibles y formar un conjunto de ellos. Cada uno de esos resultados recibe el nombre de evento elemental y al conjunto de los mismos se les llama espacios de los eventos.
        En algunos experimentos aleatorios cada uno de sus eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir y se dice que son equiprobables, la probabilidad en cada uno está definida por el cociente.
P = , donde n es el número de eventos elementales.
        Si combinamos dos o más eventos elementales para describir otros resultados, a cada combinación le llamamos elemento compuesto.
        Si consideramos un espacio muestral de un experimento aleatorio con eventos equiprobables, la probabilidad de que el evento E ocurra resulta de dividir el número de eventos entre el número total de eventos.
P (E) =
        A ésta fórmula se le conoce como fórmula clásica del cálculo de probabilidades.
        Esta fórmula se utiliza por la llamada probabilidad teórica o a priori y nos sirve para proporcionarnos un resultado preciso con la desventaja de que se refiere a situaciones ideales.
        Cuando efectuamos un experimento la probabilidad de un evento seguro es igual a 1 y la probabilidad de un evento imposible es 0.
        La probabilidad de todo un espacio muestral es 1 ya que es el conjunto de todas las soluciones posibles. Si la solución de un evento está fuera de un espacio muestral entonces su probabilidad es 0.
        Ejemplo: supongamos que tenemos la rueda.
        El evento A es clavar un dardo en los números que son múltiplos de dos, por lo tanto el espacio de los eventos elementales son:
        S= {2, 4, 6, 8}
        Entonces la probabilidad de que ocurra S, es:
P (S) =
        Si lo vemos como porcentaje, existe el 50% de que ocurra el evento S, es decir que el dardo le pegue a un número par.
        ¿Cuál es la probabilidad de clavar un dardo en un número mayor que 5? Llamemos evento
        A {6, 7, 8}.
P (A) = = 0.375 x 100 = 37.5%
        La probabilidad es del 37.5% de que ocurra.
        El evento B, es clavar el dardo en un número mayor que 8.
        B {Ø} el evento B no existe por no existir un número mayor que ocho.
        Luego entonces tenemos que: P (B) = = 0
        Si el evento C es clavar un dardo en un número mayor que cero y menor que 9.
        C {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Por lo tanto P (C) = = 1
        Por lo tanto es un evento seguro, ya que su probabilidad es favorable a todos los casos posibles.
        Ejemplo: supongamos que se colocan cuatro canicas en una caja, los colores de las canicas son (rojo, azul, amarillo, verde).
        El experimento consiste en sacar de la caja una canica sin escogerla, es decir, al azar y al repetirlo se regresa la canica extraída, es decir, es un experimento aleatorio porque todas las canicas tienen la misma probabilidad de salir, la probabilidad de salir de cada evento es:
P (E) =
        Cada evento elemental puede identificarse con una letra mayúscula.
        Por ejemplo, si sale la canica roja, lo simbolizamos con A.
        La probabilidad de que ocurra A es
P (A) =
        Si ahora en la misma caja podemos considerar un evento compuesto al evento B que consiste en sacar una canica verde o una roja, otro evento combinado puede ser C, que consiste en que salgan todas las canicas, menos la verde.
        La probabilidad de B es P (B) = donde 2 es el número de eventos elementales que forman el elemento compuesto y 4 es el total de eventos.
        La probabilidad de C es p (C) =

Areas Superficiales de los Sólidos

La superficie es la parte por donde un sólido interacciona con lo que le rodea, ya sea gas, un líquido u otros sólidos.
A medida que el tamaño de partícula disminuye, el área superficial por unidad de masas aumenta. La adición de porosidad, especialmente si se trata de poros
muy pequeños hace que la superficie aumente mucho más. Polvos muy gruesos pueden tener áreas superficiales de unos pocos centímetros cuadrados por gramo.
mientras que materiales porosos pueden tener áreas mayores que un cámpo de futbol (varios miles de metros cuadrados por gramo).


El área superficial está relacionada con la velocidad de disolución de un sólido y con otros fenómenos como la actividad de un catalizador, las propiedades
electrostáticas de materiales en polvo, la dispersión de luz, la opacidad, las propiedades de sinterización, la cristalización, la retención de humedad,
la caducidad y muchos otras propiedades que pueden influir en el procesado y comportamiento de polvos y sólidos porosos.

Por tanto, la medida del área superficial es una de las más utilizadas para la caracterización de materiales porosos. Dado que el área superficial
corresponde a la rugosidad del exterior de la partícula y a su interior poroso, la técnica más usada es la adsorción de gases. Por el contrario, las
técnicas de tamaño de partícula suelen calcular valores de área asumiendo que las partículas son esferas, con superficie suave y no porosas.

La tendencia de todas las superficies sólidas para atraer moléculas de gas circundantes da lugar al proceso denominado adsorción de gas. La monitorización
de este proceso da lugar a una información muy útil sobre las características texturales de materiales sólidos.

Antes de realizar un ensayos de adsorción, la superficie del material debe limpiarse de contaminantes como agua y aceite, este proceso de limpieza se
denomina desgasificación y consiste en colocar una cantidad conocida de muestra en una celda de vídrio y calentarla bajo vacío o flujo de gas inerte.
Una vez la muestra está limpia, la llevamos a temperatura constante mediante un dewar externo que normalmente contiene Nitrógeno líquido, evacuamos todo el
aire de la celda y añadimos pequeñas cantidades de gas (adsorbato). Las moléculas de gas se van adsorbiendo sobre la superficie hasta que llega un momento
donde se forma una monocapa estadística sobre la superficie accesible tanto interna como externa, a partir de este punto puede determinarse el área superficial.
Si seguimos aumentando la presión de gas, pueden formarse multicapas de moléculas de gas y finalmente llenarse determinados poros. A partir de la isoterma
completa de adsorción/ desorción pueden obtenerse distribuciones de micro / mesoporos, volumen de poros ...etc.






sábado, 2 de junio de 2012

Clasificación de Sólidos

Geometría sólida

La Geometría sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...

Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geometricas planas; como por ejemplo el cubo.
Hay 4 clases de poliedros:
  • Cubo
  • Pirámide
  • Prisma
  • Paralelepípedo
 
 
Redondos
Son todos aquellos que tienen dos caras, una redonda y una derecha, (ya sea la ocasion).
Hay 4 clases de cuerpos redondos
  • Esfera
  • Cono
  • Cilindro
  • Esferoide
 

Hay dos tipos principales de sólidos, "poliedros" y "no poliedros":

Poliedris
Un poliedro es un sólido que tiene todas las caras planas. Ejemplos:

  Sólidos Platónicos


Prísmas

    Pirámides

No poliedros

Algunos sólidos tienen superficies curvas (todas o sólo algunas) así que no son poliedros. Ejemplos:

Esfera Toro
Cilindro Cono                    



Los Cuerpos Geométricos


Circulo, Recta Secantes y Tangentes

Posición relativa de recta y circunferencia

Si una recta y una circunferencia no tienen ningún punto en común, es decir, si no se cruzan, la recta se dice recta exterior a la circunferencia. Si la recta corta a la circunferencia en un único punto, llamado punto de tangencia, hablaremos de una recta tangente a la circunferencia. Por último, si la recta corta en dos puntos a la circunferencia, la recta recibe el nombre de recta secante a la circunferencia. En este caso, la porción de recta interior a la circunferencia se llama cuerda.


Ecuación de la recta tangente a una circunferencia
Podemos trazar la recta tangente a una circunferencia  de centro (Cx,Cy) por cualquier punto (x0,y0) de ésta. Conocido ese punto no tenemos más que calcular la pendiente m para calcular la ecuación de la recta tangente(*).
Recta tangente y radio al punto de tangencia son perpendiculares, por tanto sus pendientes son inversas y de signo contrario. Así:





Tangente común a dos circunferencias. Longitud del segmento delimitado por los puntos de tangencia

Dadas dos circunferencias cuya distancia entre centros es d, podemos trazar rectas tangentes a ambas circunferencias simultaneamente. Dependiendo de si estas tangentes cruzan o no la recta que une los centros, las llamaremos rectas tangentes comunes interior y exterior respectivamente.
A.- Tangente común exterior
Observa detenidamente la siguiente ventana. Como la tangente es común a las dos circunferencias, es perpendicular a los dos radios dibujados. Por tanto estos dos radios son paralelos. Podemos encontrar un triángulo rectángulo en en la figura sin más que desplazar el segmento t en la dirección de los radios una distancia r. Conociendo la distancia que separa los centros, d, y la medida de los radios, R y r, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para despejar el valor de t de la ecuación resultante.



Recta Secante que corta una Circunferencia


La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.

Dados los puntos de intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante. Para ello en matemáticas se emplea la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
y=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}x+\frac{x_Ay_B-x_By_A}{x_A-x_B}


Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, \R^1.




Solución de Triángulos Rectángulos

Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto





 Triángulo      


Discusión 
Discusión 
Discusión 



Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35
c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m



2. Se conocen los dos catetos


 Triángulo                      Discusión

                        Discusión

                         Discusión



Resolver el triángulo conociendo:

b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B   a = 33/0.8347 = 39.12 m 

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo



Triángulo                                         Discusión 

                                        
Discusión 
Discusión 



Resolver el triángulo conociendo:

a = 45 m y B = 22°.
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo



Triángulo                               Discusión 
                                Discusión


Discusión 



Resolver el triángulo conociendo:

b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B     a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B   c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m