El grupo de isometría de un conjunto está formado por todas
las transformaciones geométricas formado por traslaciones, rotaciones y
reflexiones que no alteran las distancias de un conjunto.
En un grupo de isometría, la operación de grupo
viene dada por la composición de isometrías, y el inverso de una
transformación o operación de simetría es precisamente la operación de
deshacer dicha operación.
Grupo de isometría del espacio euclídeo
En el espacio euclídeo
podemos definir varias operaciones que no alteran las distancias. Así
por ejemplo si consideramos un objeto dentro del espacio euclídeo
podemos transportarlo a otra posición y cambiar su orientación. Así el grupo de isometría está formado por:
- Las traslaciones o conjunto de aplicaciones de la forma:
- Las rotaciones, que pueden representarse matemáticamente el conjunto de aplicaciones de la forma: , donde es una matriz de determinante 1 que cumple
- Las reflexiones y las composiciones de diversas reflexiones. Una reflexión puede representarse por una matriz de determinante -1.
Grupo de isometría de figuras geométricas
Si una figura geométrica es finita, es decir, forma un conjunto acotado
del espacio euclídeo, entonces el grupo de isometría no incluye ninguna
traslación y por tanto su grupo de isometría es un subgrupo del espacio . Si la figura presenta sólo un número finito de (hiper)planos de simetría entonces el grupo de isometría será un grupo finito.
Este grupo se forma con dos reflexiones de ejes de simetría perpendiculares. No se da reflexión con deslizamiento pero si centros de giro binários (180º) en las intersecciones de los ejes de simetría. La rejilla es rectangular, que puede tomarse como base para construir el mosaico a base se traslaciones y la celda base la mitad del rectángulo.
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