viernes, 1 de junio de 2012

Sistema de Ecuaciones Lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:



    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcr}
             3 \,x_1 & + & 2\,x_2             & + &   \,x_3 & = & 1  \\
             2 \,x_1 & + & 2\,x_2             & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\
             - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2  & - &   \,x_3 & = & 0
        \end{array}
    \right .

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
  • Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
  • Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
    • Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
    • Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:

   \mathrm{Tipos \; de \; sistemas}
   \begin{cases} 
      \mathrm{Compatible} 
         \begin{cases}
            \mathrm{Determinado}\\
            \mathrm{Indeterminado}
         \end{cases}\\
      \mathrm{Incompatible}
   \end{cases}

 Ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales:

Sistemas de ecuaciones lineales      Sistemas de ecuaciones lineales     





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